Bloque 3 • Análisis Matemático

Ejercicios resueltos: Tipos de discontinuidades

Problemas modelo resueltos con desglose algebraico paso a paso para dominar este concepto clave en selectividad.

Ejercicio 1

Clasificación completa de discontinuidades

Clasifica las discontinuidades de \( f(x) = \frac{|x-1|}{x^2-1} \).

Resolución:

Puntos fuera del dominio: \( x = 1 \) y \( x = -1 \).

1. En \( x = -1 \): el numerador es \( |-2| = 2 \neq 0 \). Denominador es 0 \( \implies \) Discontinuidad de salto infinito (asíntota vertical).

2. En \( x = 1 \): para \( x > 1 \), \( \frac{x-1}{(x-1)(x+1)} = \frac{1}{x+1} \to \frac{1}{2} \). Para \( x < 1 \), \( \frac{-(x-1)}{(x-1)(x+1)} = \frac{-1}{x+1} \to -\frac{1}{2} \).

Como \( L^- = -1/2 \neq L^+ = 1/2 \), en \( x = 1 \) hay una discontinuidad de salto finito (longitud 1).