Tipos de discontinuidades - Matemáticas II

1. Clasificación Rigurosa de las Discontinuidades

Si una función falla en alguna condición de continuidad en \( x = c \), la discontinuidad se clasifica según los límites laterales:

Discontinuidad Evitable: Existe el límite global finito \( \lim_{x \to c} f(x) = L \), pero \( f(c) \) no existe o \( f(c) \neq L \). Redefiniendo \( f(c) = L \) la función se hace continua.

Discontinuidad Inevitable de Salto Finito: Existen ambos límites laterales finitos pero son distintos: \[ \text{Salto} = |L^+ - L^-| < +\infty \]

Discontinuidad Inevitable de Salto Infinito (Esencial / Asintótica): Al menos uno de los límites laterales es \( \pm \infty \) (asíntota vertical).

📌 Ejemplo Concreto de Tipos de Discontinuidad:

Identifiquemos las discontinuidades en tres puntos clave:

a) \( f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2} \) en \(x = 2\): \(\lim_{x \to 2} f(x) = 4\), pero \( ot\exists f(2)\) \(\implies\) Evitable (salto cero).

b) \( g(x) = \text{signo}(x) \) en \(x = 0\): \(g'_-(0) = -1 eq g'_+(0) = 1\) \(\implies\) Inevitable de Salto Finito (\(\text{salto} = 2\)).

c) \( h(x) = \frac{1}{x} \) en \(x = 0\): laterales infinitos \(\implies\) Inevitable de Salto Infinito (asintótica).

2. Ejemplos Prácticos

Ejemplo 1: Discontinuidad evitable

\( f(x) = \frac{x^2-9}{x-3} \). En \( x=3 \) no existe \( f(3) \), pero \( \lim_{x \to 3} f(x) = 6 \). Es evitable con \( f(3)=6 \).

Ejemplo 2: Salto finito

\( f(x) = \begin{cases} 2x & x < 0 \\ x+3 & x \ge 0 \end{cases} \). \( L^- = 0, \, L^+ = 3 \implies \) Salto finito de 3 unidades.

Ejemplo 3: Salto infinito

\( f(x) = \frac{1}{x-2} \) en \( x = 2 \implies L^- = -\infty, \, L^+ = +\infty \implies \) Discontinuidad asintótica.