1. Continuidad de Funciones Elementales
Todas las funciones elementales son continuas en todos los puntos de su dominio de definición:
1
Polinómicas: Continuas en todo \( \mathbb{R} \).
2
Racionales: Continuas en \( \mathbb{R} \setminus \{x \mid Q(x)=0\} \).
3
Exponenciales y trigonométricas básicas (seno y coseno): Continuas en \( \mathbb{R} \).
4
Logaritmos: Continuas en \( (0, +\infty) \).
5
Álgebra y composición: La suma, resta, producto, cociente (con divisor no nulo) y composición de funciones continuas es otra función continua en su dominio resultante.
📌 Ejemplo Concreto de Álgebra de Continuidad:
Determinemos el conjunto de continuidad de \( h(x) = \frac{\sin(x) + e^x}{x^2 - 16} \):
El numerador es suma de trigonométrica y exponencial, continuas en todo \(\mathbb{R}\). El denominador es un polinomio continuo en \(\mathbb{R}\).
Por el teorema del cociente de continuas, \(h(x)\) es continua en todo punto donde no se anule el denominador:
$$x^2 - 16 = 0 \implies x = \pm 4 \implies h \text{ es continua en } \mathbb{R} \setminus \{-4, 4\}$$
2. Ejemplos Prácticos
Ejemplo 1: Continuidad de función compuesta
\( f(x) = e^{\sin(x^2+1)} \) es continua en todo \( \mathbb{R} \) por ser composición de un polinomio, el seno y la exponencial.
Ejemplo 2: Continuidad de cociente trascendente
\( f(x) = \frac{\cos x}{x^2+4} \) es continua en todo \( \mathbb{R} \) pues el denominador jamás se anula.
Ejemplo 3: Intervalo de continuidad de raíz compuesta
\( f(x) = \sqrt{9-x^2} \) es continua en su dominio cerrado \( [-3, 3] \).