Continuidad de una función en un punto y en un intervalo

1. Definición Formal de Continuidad

Una función \( f \) es continua en un punto \( x = c \) si y solo si se satisfacen simultáneamente las tres condiciones siguientes:

Existe \( f(c) \) (el punto pertenece al dominio de la función).

Existe el límite global \( \lim_{x \to c} f(x) \) y es finito (límites laterales coincidentes).

El valor del límite coincide con el valor de la función: \[ \lim_{x \to c} f(x) = f(c) \]

Una función es continua en un intervalo abierto \( (a, b) \) si lo es en cada uno de sus puntos, y es continua en \( [a, b] \) si además es continua por la derecha en \( a \) y por la izquierda en \( b \).

📌 Ejemplo Concreto de Continuidad en un Punto:

Estudiemos la continuidad de la función en \(x = 1\):

f(x) = \begin{cases} 2x + 3 & \text{si } x \le 1 \\ x^2 + 4 & \text{si } x > 1 \end{cases}

1) Valor puntual: \(f(1) = 2(1) + 3 = 5\).

2) Límites laterales: \(\lim_{x \to 1^-} (2x + 3) = 5\), \(\lim_{x \to 1^+} (x^2 + 4) = 5 \implies \lim_{x \to 1} f(x) = 5\).

3) Como \(\lim_{x \to 1} f(x) = f(1) = 5\), la función es continua en \(x = 1\).

2. Ejemplos Prácticos

Ejemplo 1: Verificación de continuidad en función a trozos

\( f(x) = \begin{cases} x+2 & x \le 1 \\ 3x & x > 1 \end{cases} \) en \( x=1 \).

\( f(1) = 1+2 = 3 \). \( \lim_{x \to 1^-} f(x) = 3 \), \( \lim_{x \to 1^+} f(x) = 3 \implies \lim = f(1) = 3 \). Es continua en \( x=1 \).

Ejemplo 2: Punto no perteneciente al dominio

\( f(x) = \frac{1}{x} \) no es continua en \( x=0 \) porque \( f(0) \) no existe.

Ejemplo 3: Continuidad lateral en un borde

\( f(x) = \sqrt{x} \) es continua en \( [0, +\infty) \) con continuidad por la derecha en \( x=0 \).