Bloque 3 • Análisis Matemático
Ejercicios resueltos: Teorema de conservación del signo
Problemas modelo resueltos con desglose algebraico paso a paso para dominar este concepto clave en selectividad.
Ejercicio 1
Demostración teórica de permanencia del signo
Demuestra formalmente el teorema de conservación del signo para \( f(c) = L > 0 \) utilizando la definición \( \varepsilon-\delta \).
Resolución:
Tomamos \( \varepsilon = \frac{L}{2} > 0 \). Por ser \( f \) continua en \( c \), existe \( \delta > 0 \) tal que:
\[ |x - c| < \delta \implies |f(x) - L| < \frac{L}{2} \implies -\frac{L}{2} < f(x) - L < \frac{L}{2} \]Sumando \( L \) a toda la desigualdad: \( \frac{L}{2} < f(x) < \frac{3L}{2} \).
Como \( f(x) > \frac{L}{2} > 0 \), queda demostrado que \( f(x) > 0 \) en el entorno \( (c-\delta, c+\delta) \).