Teorema de conservación del signo

1. Enunciado del Teorema de Conservación del Signo

Si una función \( f(x) \) es continua en un punto \( x = c \) y \( f(c) \neq 0 \), entonces existe un entorno abierto de dicho punto \( (c - \delta, c + \delta) \) en el cual la función conserva el mismo signo que \( f(c) \):

\[ f(c) > 0 \implies \exists \delta > 0 \text{ tal que } \forall x \in (c - \delta, c + \delta), \; f(x) > 0 \] \[ f(c) < 0 \implies \exists \delta > 0 \text{ tal que } \forall x \in (c - \delta, c + \delta), \; f(x) < 0 \]

📌 Ejemplo Concreto de Conservación del Signo:

Consideremos la función continua \( f(x) = x^3 + 2 \) en el punto \(x = 2\):

$$f(2) = 2^3 + 2 = 10 > 0$$

Por el Teorema de Conservación del Signo, existe un entorno \( (2 - \delta, 2 + \delta) \) donde \( f(x) > 0 \). Por ejemplo, en el intervalo \([1.5, 2.5]\), \(f(x) \ge 1.5^3 + 2 = 5.375 > 0\), manteniéndose estrictamente positivo.

2. Ejemplos Prácticos

Ejemplo 1: Aplicación en funciones cuadráticas

Para \( f(x) = x^2+1 \), en \( x=0 \), \( f(0) = 1 > 0 \). En cualquier entorno la función es estrictamente positiva.

Ejemplo 2: Raíces como únicas transiciones de signo

Una función continua no puede cambiar de signo sin pasar por el cero (base del Teorema de Bolzano).

Ejemplo 3: Elección de épsilon en la demostración

Basta tomar \( \varepsilon = \frac{|f(c)|}{2} \) en la definición formal de continuidad.