1. Enunciado del Teorema de Acotación
Si una función \( f(x) \) es continua en un intervalo cerrado y acotado \( [a, b] \), entonces la función está acotada en dicho intervalo:
\[ \exists M > 0 \text{ tal que } |f(x)| \le M, \quad \forall x \in [a, b] \]1
Acotación superior e inferior: Existen constantes \( m, k \in \mathbb{R} \) tales que \( m \le f(x) \le k \) para todo \( x \in [a, b] \).
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Importancia de las hipótesis: Si el intervalo es abierto o no acotado, el teorema puede fallar (ej. \( f(x) = 1/x \) en \( (0, 1) \)).
📌 Ejemplo Concreto de Acotación Local:
Para la función continua \( f(x) = \frac{x + 1}{x^2 + 2} \) en el punto \(x = 1\):
$$f(1) = \frac{2}{3}$$
En el entorno cerrado \([0, 2]\), \(f(x)\) está acotada: \( 0 < f(x) \le \frac{3}{3} = 1 \). Existen cotas reales \( m = 0 \) y \( M = 1 \) tales que \( m \le f(x) \le M \).
2. Ejemplos Prácticos
Ejemplo 1: Función cuadrática en intervalo cerrado
\( f(x) = x^2 \) en \( [-1, 3] \). Está acotada: \( 0 \le f(x) \le 9 \implies |f(x)| \le 9 \).
Ejemplo 2: Contraejemplo en intervalo abierto
\( f(x) = \frac{1}{x} \) es continua en \( (0, 1) \), pero no está acotada superiormente.
Ejemplo 3: Contraejemplo en intervalo no acotado
\( f(x) = x \) es continua en \( [0, +\infty) \), pero no está acotada.