Bloque 3 • Análisis Matemático
Ejercicios resueltos: Teorema de acotación
Problemas modelo resueltos con desglose algebraico paso a paso para dominar este concepto clave en selectividad.
Ejercicio 1
Análisis de acotación y compacidad
Justifica si la función \( f(x) = \frac{\sin x}{x^2 + 1} \) está acotada en el intervalo \( [-5, 5] \) y halla una cota superior válida.
Resolución:
1. \( f(x) \) es continua en todo \( \mathbb{R} \) (denominador nunca nulo). Por tanto, es continua en el intervalo cerrado \( [-5, 5] \).
2. Por el Teorema de Acotación, \( f \) está acotada en \( [-5, 5] \).
3. Cota: como \( |\sin x| \le 1 \) y \( x^2 + 1 \ge 1 \):
\[ |f(x)| = \frac{|\sin x|}{x^2 + 1} \le \frac{1}{1} = 1 \]Una cota superior válida es \( M = 1 \).