Bloque 3 • Análisis Matemático
Ejercicios resueltos: Teorema de los valores intermedios o de Darboux
Problemas modelo resueltos con desglose algebraico paso a paso para dominar este concepto clave en selectividad.
Ejercicio 1
Existencia de solución por el Teorema de Darboux
Demuestra que la ecuación \( e^x + 2x = 4 \) tiene al menos una solución real en el intervalo \( [0, 1] \).
Resolución:
1. Definimos \( f(x) = e^x + 2x \), que es continua en \( [0, 1] \) por ser suma de exponencial y polinomio.
2. Evaluamos los extremos del intervalo:
\[ f(0) = e^0 + 2(0) = 1 \] \[ f(1) = e^1 + 2(1) = e + 2 \approx 4.718 \]3. Como \( 1 < 4 < 4.718 \), el valor \( k = 4 \) está comprendido entre \( f(0) \) y \( f(1) \).
4. Por el Teorema de Darboux, existe \( c \in (0, 1) \) tal que \( f(c) = 4 \), lo que demuestra que la ecuación tiene solución.