Ejercicios resueltos: Teorema de Bolzano
Problemas modelo resueltos con desglose algebraico paso a paso para dominar este concepto clave en selectividad.
Existencia y unicidad de raíz en selectividad
Demuestra que la ecuación \( x^5 + x - 3 = 0 \) tiene exactamente una única solución real en el intervalo \( (1, 2) \).
1. Existencia (Bolzano):
Sea \( f(x) = x^5 + x - 3 \), que es continua en \( [1, 2] \) por ser polinómica.
\( f(1) = 1 + 1 - 3 = -1 < 0 \).
\( f(2) = 32 + 2 - 3 = 31 > 0 \).
Como \( f(1) \cdot f(2) < 0 \), por el Teorema de Bolzano existe al menos un \( c \in (1, 2) \) tal que \( f(c) = 0 \).
2. Unicidad (Monotonía):
Calculamos su derivada: \( f'(x) = 5x^4 + 1 \).
Como \( 5x^4 \ge 0 \), tenemos \( f'(x) \ge 1 > 0 \) para todo \( x \in \mathbb{R} \).
La función es estrictamente creciente en todo \( \mathbb{R} \), por lo que la raíz \( c \) es única.