Teorema de los valores intermedios o de Darboux

1. Enunciado del Teorema de los Valores Intermedios (Darboux)

Si una función \( f(x) \) es continua en un intervalo cerrado \( [a, b] \), entonces toma todos los valores comprendidos entre \( f(a) \) y \( f(b) \):

\[ \forall k \text{ entre } f(a) \text{ y } f(b), \quad \exists c \in (a, b) \text{ tal que } f(c) = k \]

Interpretación Geométrica: Cualquier recta horizontal \( y = k \) situada entre \( y = f(a) \) e \( y = f(b) \) corta a la gráfica de la función al menos en un punto de abscisa \( c \in (a, b) \).

Propiedad de Darboux: La imagen de un intervalo continuo es otro intervalo (no tiene "agujeros" ni saltos).

📌 Ejemplo Concreto del Teorema de Darboux:

Demostremos que la función continua \( f(x) = x^3 - x \) alcanza el valor intermedio \( k = 5 \) en el intervalo \([1, 2]\):

f(1) = 1 - 1 = 0, \qquad f(2) = 8 - 2 = 6

Como \(0 < 5 < 6\) y \(f\) es continua en \([1, 2]\), por el Teorema de los Valores Intermedios existe al menos un \(c \in (1, 2)\) tal que \(f(c) = 5\).

2. Ejemplos Prácticos

Ejemplo 1: Existencia de valor específico

Demostrar que \( f(x) = x^3 + x \) alcanza el valor \( 5 \) en \( [1, 2] \).

\( f(1) = 2 \), \( f(2) = 10 \). Como \( 2 < 5 < 10 \) y \( f \) es continua en \( [1, 2] \), existe \( c \in (1, 2) \) tal que \( f(c) = 5 \).

Ejemplo 2: Corte de dos curvas continuas

Sean \( f \) y \( g \) continuas. Aplicar Darboux a \( h(x) = f(x) - g(x) \) demuestra que las curvas se cortan.

Ejemplo 3: Teorema de Bolzano como caso particular

Si \( k = 0 \), Darboux se convierte exactamente en el Teorema de Bolzano.