Ejercicio 1: Cálculo de derivada por definición
Hallar por definición la derivada de \( f(x) = 2x^2 - 5x \) en el punto \( x = 3 \).
Paso 1: Planteamos el cociente incremental con \( a = 3 \):
\[ f(3) = 2(3)^2 - 5(3) = 18 - 15 = 3 \]
\[ f(3+h) = 2(3+h)^2 - 5(3+h) = 2(9 + 6h + h^2) - 15 - 5h = 18 + 12h + 2h^2 - 15 - 5h = 3 + 7h + 2h^2 \]
Paso 2: Calculamos el límite cuando \( h \to 0 \):
\[ f'(3) = \lim_{h \to 0} \frac{f(3+h) - f(3)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{(3 + 7h + 2h^2) - 3}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{7h + 2h^2}{h} = \lim_{h \to 0} (7 + 2h) = 7 \]
Conclusión: La derivada en \( x = 3 \) es \( f'(3) = 7 \).
Ejercicio 2: Parámetros para continuidad y derivabilidad
Calcular \( a \) y \( b \) para que la función sea derivable en \( x = 1 \):
\[ f(x) = \begin{cases} ax^2 + bx & \text{si } x \le 1 \\ 3x - 1 & \text{si } x > 1 \end{cases} \]Paso 1: Exigir continuidad en \( x = 1 \):
\[ \lim_{x \to 1^-} (ax^2 + bx) = a + b, \quad \lim_{x \to 1^+} (3x-1) = 2, \quad f(1) = a+b \implies a + b = 2 \]
Paso 2: Exigir derivabilidad (igualdad de derivadas laterales):
\[ f'_-(1) = \left.(2ax + b)\right|_{x=1} = 2a + b, \quad f'_+(1) = \left.(3)\right|_{x=1} = 3 \implies 2a + b = 3 \]
Paso 3: Resolvemos el sistema:
\[ (2a + b) - (a + b) = 3 - 2 \implies a = 1, \quad b = 2 - 1 = 1 \]
Conclusión: La función es derivable en \( x = 1 \) si \( a = 1 \) y \( b = 1 \).