Derivada de una función en un punto

1. Concepto y Definición Formal

La derivada de una función \( f(x) \) en un punto de abscisa \( x = a \) representa la tasa de variación instantánea de la función y la pendiente de la recta tangente a su gráfica en dicho punto.

f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h} = \lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a}

Si este límite existe y es finito, se dice que la función es derivable en \( x = a \). Si no existe o es infinito, la función no es derivable en dicho punto.

📌 Ejemplo Concreto de Derivada por Definición:

Calculemos la derivada de \( f(x) = x^2 \) en el punto \( x = 3 \) aplicando la definición:

f'(3) = \lim_{h \to 0} \frac{f(3+h) - f(3)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{(3+h)^2 - 9}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{9 + 6h + h^2 - 9}{h} = \lim_{h \to 0} (6 + h) = 6

La pendiente de la recta tangente a la parábola en el punto \((3, 9)\) es exactamente \( m = 6 \).

2. Derivadas Laterales y Continuidad

Para que \( f'(a) \) exista, deben existir y coincidir las derivadas laterales:

Derivada por la izquierda: \( f'_-(a) = \lim_{h \to 0^-} \frac{f(a+h) - f(a)}{h} \)
Derivada por la derecha: \( f'_+(a) = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(a+h) - f(a)}{h} \)

Teorema fundamental de derivabilidad y continuidad

Si una función \( f(x) \) es derivable en \( x = a \), entonces es continua en \( x = a \). El recíproco es falso: la continuidad no garantiza la derivabilidad (puntos angulosos o picos).

📌 Ejemplo Concreto de Derivadas Laterales Distintas:

Analicemos la función valor absoluto \( f(x) = |x| \) en el origen \( x = 0 \):

f'_-(0) = \lim_{h \to 0^-} \frac{-h - 0}{h} = -1, \qquad f'_+(0) = \lim_{h \to 0^+} \frac{h - 0}{h} = +1

Al ser \( f'_-(0) eq f'_+(0) \), la función es continua pero no derivable en \( x = 0 \) (punto anguloso).

3. Ejemplos Representativos

Ejemplo 1: Cálculo de la derivada por definición en un polinomio

Calcular \( f'(2) \) para la función \( f(x) = x^2 + 3x \).

\[ f'(2) = \lim_{h \to 0} \frac{(2+h)^2 + 3(2+h) - (4+6)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{4 + 4h + h^2 + 6 + 3h - 10}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{7h + h^2}{h} = \lim_{h \to 0} (7+h) = 7 \]

Ejemplo 2: Derivadas laterales y punto anguloso

Estudiar la derivabilidad de \( f(x) = |x-1| \) en \( x = 1 \).

Como \( f(x) = x-1 \) para \( x \ge 1 \) y \( f(x) = -(x-1) \) para \( x < 1 \):

\[ f'_+(1) = \lim_{h \to 0^+} \frac{h - 0}{h} = 1, \quad f'_-(1) = \lim_{h \to 0^-} \frac{-h - 0}{h} = -1 \]

Al ser \( f'_+(1) \ne f'_-(1) \), la función es continua pero no derivable en \( x = 1 \) (posee un punto anguloso).

Ejemplo 3: Derivada con raíces cuadradas

Calcular \( f'(0) \) para \( f(x) = \sqrt{x+4} \) aplicando la definición:

\[ f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{h+4} - 2}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{(\sqrt{h+4}-2)(\sqrt{h+4}+2)}{h(\sqrt{h+4}+2)} = \lim_{h \to 0} \frac{h}{h(\sqrt{h+4}+2)} = \frac{1}{4} \]