1. Álgebra de Derivadas
Dadas dos funciones derivables \( u(x) \) y \( v(x) \), y una constante real \( k \in \mathbb{R} \), se verifican las siguientes propiedades fundamentales:
- Derivada de la suma o resta: \( [u \pm v]' = u' \pm v' \)
- Producto por una constante: \( [k \cdot u]' = k \cdot u' \)
- Derivada del producto: \( [u \cdot v]' = u' \cdot v + u \cdot v' \)
- Derivada del cociente: \( \left[\frac{u}{v}\right]' = \frac{u' \cdot v - u \cdot v'}{v^2} \quad (v \ne 0) \)
Dadas \( u(x) = x^2 \) y \( v(x) = \sin x \), calculemos la derivada de su producto:
2. Composición de Funciones: Regla de la Cadena
Si \( g \) es derivable en \( x \) y \( f \) es derivable en \( g(x) \), la función compuesta \( (f \circ g)(x) = f(g(x)) \) es derivable y su derivada es:
En notación de Leibniz: \( \frac{df}{dx} = \frac{df}{dg} \cdot \frac{dg}{dx} \).
Derivemos la función compuesta \( y = (3x^2 - 5)^4 \):
Identificamos \( u(x) = 3x^2 - 5 \implies u'(x) = 6x \). Aplicamos la fórmula:
3. Ejemplos Prácticos
Ejemplo 1: Regla de la suma y producto por escalar
Derivar \( f(x) = 5x^3 - 4x^2 + 7 \).
\[ f'(x) = 5(3x^2) - 4(2x) + 0 = 15x^2 - 8x \]
Ejemplo 2: Derivada de un producto
Derivar \( f(x) = (x^2 + 1)(3x - 2) \).
\[ f'(x) = (2x)(3x-2) + (x^2+1)(3) = 6x^2 - 4x + 3x^2 + 3 = 9x^2 - 4x + 3 \]
Ejemplo 3: Derivada de un cociente
Derivar \( f(x) = \frac{2x + 3}{x^2 + 1} \).
\[ f'(x) = \frac{(2)(x^2+1) - (2x+3)(2x)}{(x^2+1)^2} = \frac{2x^2 + 2 - 4x^2 - 6x}{(x^2+1)^2} = \frac{-2x^2 - 6x + 2}{(x^2+1)^2} \]