Derivada de una constante y de una potencia

1. Derivada de una Función Constante

Si \( f(x) = c \) con \( c \in \mathbb{R} \), la tasa de cambio es nula en cualquier punto:

\[ [c]' = 0 \]

📌 Ejemplo Concreto de Función Constante:

Para la función horizontal \( f(x) = -7 \), su derivada es nula en cualquier abscisa:

f'(x) = 0 \quad (\forall x \in \mathbb{R})

2. Derivada de la Función Potencial

Para cualquier exponente real \( n \in \mathbb{R} \):

[x^n]' = n \cdot x^{n-1}

En su forma compuesta (aplicando la regla de la cadena para una función \( u(x) \)):

[u^n]' = n \cdot u^{n-1} \cdot u'

📌 Ejemplo Concreto de Potencia Entera y Negativa:

Derivemos \( f(x) = x^6 \) y \( g(x) = \frac{1}{x^3} = x^{-3} \):

f'(x) = 6x^5, \qquad g'(x) = -3x^{-4} = -\frac{3}{x^4}

3. Raíces como Potencias Fraccionarias

Toda raíz se expresa como potencia: \( \sqrt[n]{u} = u^{1/n} \). En particular, para la raíz cuadrada:

[\sqrt{u}]' = \left[u^{1/2}\right]' = \frac{1}{2} u^{-1/2} u' = \frac{u'}{2\sqrt{u}}

Y para la raíz enésima general: \( [\sqrt[n]{u}]' = \frac{u'}{n \sqrt[n]{u^{n-1}}} \).

📌 Ejemplo Concreto de Derivada de Raíz:

Calculemos la derivada de la raíz cúbica \( f(x) = \sqrt[3]{x^2 + 1} \):

f(x) = (x^2 + 1)^{1/3} \implies f'(x) = \frac{1}{3}(x^2 + 1)^{-2/3} \cdot (2x) = \frac{2x}{3\sqrt[3]{(x^2 + 1)^2}}

4. Ejemplos Representativos

Ejemplo 1: Polinomio estándar

Derivar \( f(x) = 4x^5 - \frac{1}{2}x^4 + 3x - 9 \).

\[ f'(x) = 4(5x^4) - \frac{1}{2}(4x^3) + 3(1) - 0 = 20x^4 - 2x^3 + 3 \]

Ejemplo 2: Raíz cuadrada compuesta

Derivar \( f(x) = \sqrt{3x^2 - 5x + 2} \).

\[ f'(x) = \frac{(3x^2 - 5x + 2)'}{2\sqrt{3x^2 - 5x + 2}} = \frac{6x - 5}{2\sqrt{3x^2 - 5x + 2}} \]

Ejemplo 3: Potencia de un cociente

Derivar \( f(x) = \left(\frac{x+2}{x-1}\right)^4 \).

\[ f'(x) = 4\left(\frac{x+2}{x-1}\right)^3 \cdot \left(\frac{x+2}{x-1}\right)' = 4\left(\frac{x+2}{x-1}\right)^3 \cdot \frac{1(x-1) - (x+2)(1)}{(x-1)^2} = 4\left(\frac{x+2}{x-1}\right)^3 \cdot \frac{-3}{(x-1)^2} = \frac{-12(x+2)^3}{(x-1)^5} \]