1. Exponencial de Base Natural \( e \)
La función exponencial natural \( e^x \) tiene la propiedad única de ser idéntica a su propia derivada:
\[ [e^x]' = e^x \]
Para una función compuesta \( u(x) \) en el exponente:
\[ [e^{u(x)}]' = u'(x) \cdot e^{u(x)} \]
📌 Ejemplo Concreto de Exponencial Natural:
Calculemos la derivada de \( f(x) = e^{5x - 2} \):
$$f'(x) = (5x - 2)' \cdot e^{5x - 2} = 5e^{5x - 2}$$
2. Exponencial de Base General \( a > 0 \, (a \ne 1) \)
Para cualquier base real positiva distinta de la unidad:
\[ [a^x]' = a^x \cdot \ln a \]
Y en su versión compuesta:
\[ [a^{u(x)}]' = u'(x) \cdot a^{u(x)} \cdot \ln a \]
📌 Ejemplo Concreto de Exponencial en Base Distinta de \(e\):
Derivemos la función \( f(x) = 3^{x^2} \):
$$f'(x) = (x^2)' \cdot 3^{x^2} \cdot \ln 3 = 2x \cdot 3^{x^2} \ln 3$$
3. Ejemplos Resueltos
Ejemplo 1: Exponencial natural con polinomio
Derivar \( f(x) = e^{3x^2 - 4x + 1} \).
\[ u(x) = 3x^2 - 4x + 1 \implies u'(x) = 6x - 4 \]
\[ f'(x) = (6x - 4) \cdot e^{3x^2 - 4x + 1} \]
Ejemplo 2: Base numérica distinta de \( e \)
Derivar \( f(x) = 5^{2x^3 - 1} \).
\[ u(x) = 2x^3 - 1 \implies u'(x) = 6x^2 \]
\[ f'(x) = (6x^2) \cdot 5^{2x^3 - 1} \cdot \ln 5 \]
Ejemplo 3: Producto de polinomio y exponencial
Derivar \( f(x) = (x^2 - 3x) e^{-2x} \).
\[ f'(x) = (2x - 3)e^{-2x} + (x^2 - 3x)(-2e^{-2x}) = e^{-2x}[2x - 3 - 2x^2 + 6x] = (-2x^2 + 8x - 3)e^{-2x} \]