Ejercicio 1: Cociente con funciones exponenciales
Derivar y simplificar: \[ f(x) = \frac{e^{2x} - 1}{e^{2x} + 1} \]
Paso 1: Identificamos \( u = e^{2x} - 1 \implies u' = 2e^{2x} \) y \( v = e^{2x} + 1 \implies v' = 2e^{2x} \).
Paso 2: Aplicamos la regla del cociente:
\[ f'(x) = \frac{2e^{2x}(e^{2x}+1) - (e^{2x}-1)(2e^{2x})}{(e^{2x}+1)^2} \]
Paso 3: Desarrollamos el numerador:
\[ 2e^{4x} + 2e^{2x} - 2e^{4x} + 2e^{2x} = 4e^{2x} \]
Resultado final: \[ f'(x) = \frac{4e^{2x}}{(e^{2x}+1)^2} \]
Ejercicio 2: Exponencial con argumento irracional
Hallar la derivada de la función: \[ f(x) = e^{\sqrt{x^2 + 4}} \]
Paso 1: El exponente es \( u = \sqrt{x^2 + 4} \). Su derivada es:
\[ u' = \frac{2x}{2\sqrt{x^2 + 4}} = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 4}} \]
Paso 2: Multiplicamos por la exponencial original:
\[ f'(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 4}} e^{\sqrt{x^2 + 4}} \]