Ejercicio 1: Logaritmo de producto de potencias
Derivar aplicando propiedades logarítmicas: \[ f(x) = \ln[x^3 (x^2 + 4)^5] \]
Paso 1: Expandimos el logaritmo:
\[ f(x) = \ln(x^3) + \ln((x^2+4)^5) = 3\ln x + 5\ln(x^2+4) \]
Paso 2: Derivamos término a término:
\[ f'(x) = 3\left(\frac{1}{x}\right) + 5\left(\frac{2x}{x^2+4}\right) = \frac{3}{x} + \frac{10x}{x^2+4} \]
Paso 3: Reducimos a común denominador:
\[ f'(x) = \frac{3(x^2+4) + 10x^2}{x(x^2+4)} = \frac{13x^2 + 12}{x(x^2+4)} \]
Ejercicio 2: Logaritmo con función trigonométrica
Calcular la derivada de: \[ f(x) = \ln(\cos x) \]
Paso 1: Aplicamos \( [\ln u]' = \frac{u'}{u} \) con \( u = \cos x \):
\[ u' = -\sin x \]
Paso 2: Sustituimos y reconocemos la identidad trigonométrica:
\[ f'(x) = \frac{-\sin x}{\cos x} = -\tan x \]