Derivada de un logaritmo - Matemáticas II

1. Derivada del Logaritmo Neperiano

Para la función logaritmo natural en base \( e \):

[\ln x]' = \frac{1}{x} \quad (x > 0)

En su versión compuesta para cualquier función \( u(x) > 0 \):

[\ln u(x)]' = \frac{u'(x)}{u(x)}

📌 Ejemplo Concreto de Logaritmo Neperiano:

Derivemos la función \( f(x) = \ln(x^3 + 2x) \):

f'(x) = \frac{(x^3 + 2x)'}{x^3 + 2x} = \frac{3x^2 + 2}{x^3 + 2x}

2. Derivada del Logaritmo en Base General \( a > 0 \, (a \ne 1) \)

Aplicando la fórmula de cambio de base \( \log_a u = \frac{\ln u}{\ln a} \):

[\log_a u(x)]' = \frac{u'(x)}{u(x) \cdot \ln a}

📌 Ejemplo Concreto de Logaritmo en Base Decimal:

Derivemos \( f(x) = \log_{10}(4x - 1) \):

f'(x) = \frac{4}{(4x - 1)\ln 10}

3. Estrategia: Uso de Propiedades Previas

Antes de derivar un logaritmo complejo con productos, cocientes o potencias, conviene aplicar las propiedades de los logaritmos para transformar la función en sumas y restas sencillas:

\( \ln(A \cdot B) = \ln A + \ln B \)
\( \ln(A / B) = \ln A - \ln B \)
\( \ln(A^k) = k \cdot \ln A \)

📌 Ejemplo Concreto de Simplificación Logarítmica Previa:

Para derivar \( f(x) = \ln\sqrt{\frac{x+1}{x-1}} = \frac{1}{2}[\ln(x+1) - \ln(x-1)] \):

f'(x) = \frac{1}{2}\left[\frac{1}{x+1} - \frac{1}{x-1}\right] = \frac{1}{2}\left[\frac{-2}{x^2 - 1}\right] = -\frac{1}{x^2 - 1}

4. Ejemplos Resueltos

Ejemplo 1: Logaritmo neperiano directo

Derivar \( f(x) = \ln(4x^3 - 5x + 1) \).

\[ f'(x) = \frac{(4x^3 - 5x + 1)'}{4x^3 - 5x + 1} = \frac{12x^2 - 5}{4x^3 - 5x + 1} \]

Ejemplo 2: Simplificación previa en cocientes

Derivar \( f(x) = \ln\left(\frac{x^2+1}{x-3}\right) \).

Aplicamos primero propiedades: \( f(x) = \ln(x^2+1) - \ln(x-3) \).

\[ f'(x) = \frac{2x}{x^2+1} - \frac{1}{x-3} = \frac{2x(x-3) - (x^2+1)}{(x^2+1)(x-3)} = \frac{x^2 - 6x - 1}{(x^2+1)(x-3)} \]

Ejemplo 3: Logaritmo de una raíz

Derivar \( f(x) = \log_2\sqrt{3x+1} \).

Escribimos: \( f(x) = \frac{1}{2}\log_2(3x+1) \).

\[ f'(x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{(3x+1)\ln 2} = \frac{3}{2(3x+1)\ln 2} \]