Derivada del seno y del coseno

1. Derivadas Fundamentales

Las funciones trigonométricas directas seno y coseno tienen las siguientes derivadas inmediatas:

[\sin x]' = \cos x \qquad [\cos x]' = -\sin x

📌 Ejemplo Concreto de Seno y Coseno:

Evaluemos las derivadas inmediatas:

[\sin x]' = \cos x, \qquad [\cos x]' = -\sin x

En el punto \( x = 0 \): \([\sin 0]' = \cos 0 = 1\) y \([\cos 0]' = -\sin 0 = 0\).

Para un argumento compuesto \( u(x) \):

[\sin(u(x))]' = u'(x) \cdot \cos(u(x))

[\cos(u(x))]' = -u'(x) \cdot \sin(u(x))

📌 Ejemplo Concreto de Argumento Compuesto:

Calculemos la derivada de \( f(x) = \sin(4x^2) \) y \( g(x) = \cos(3x) \):

f'(x) = 8x \cos(4x^2), \qquad g'(x) = -3\sin(3x)

Cuando la función trigonométrica está elevada a una potencia \( \sin^n(u) \):

[\sin^n(u)]' = n \sin^{n-1}(u) \cdot \cos(u) \cdot u'

[\cos^n(u)]' = -n \cos^{n-1}(u) \cdot \sin(u) \cdot u'

📌 Ejemplo Concreto de Potencia Trigonométrica:

Derivemos la función cuadrática \( f(x) = \sin^2(3x) \):

f'(x) = 2\sin(3x) \cdot [\sin(3x)]' = 2\sin(3x) \cdot (3\cos(3x)) = 6\sin(3x)\cos(3x) = 3\sin(6x)

Derivar \( f(x) = \sin(3x^2 - 2) + \cos(5x) \).

\[ f'(x) = (6x)\cos(3x^2 - 2) - 5\sin(5x) \]

Derivar \( f(x) = \sin^3(4x) \cdot \cos(2x) \).

\[ [\sin^3(4x)]' = 3\sin^2(4x) \cdot \cos(4x) \cdot 4 = 12\sin^2(4x)\cos(4x) \]

\[ f'(x) = 12\sin^2(4x)\cos(4x)\cos(2x) - 2\sin^3(4x)\sin(2x) \]

Derivar \( f(x) = \frac{\sin(2x)}{e^{3x}} \).

\[ f'(x) = \frac{2\cos(2x)e^{3x} - \sin(2x)(3e^{3x})}{(e^{3x})^2} = \frac{2\cos(2x) - 3\sin(2x)}{e^{3x}} \]