Ejercicio 1: Producto de seno y coseno con ángulo doble
Derivar y simplificar: \[ f(x) = \sin(x) \cos(x) \]
Método 1 (Regla del producto):
\[ f'(x) = (\cos x)(\cos x) + (\sin x)(-\sin x) = \cos^2 x - \sin^2 x = \cos(2x) \]
Método 2 (Identidad previa):
\[ f(x) = \frac{1}{2}\sin(2x) \implies f'(x) = \frac{1}{2}(2\cos(2x)) = \cos(2x) \]
Conclusión: Ambos métodos coinciden en \( f'(x) = \cos(2x) \).
Ejercicio 2: Composición anidada con raíces
Derivar: \[ f(x) = \cos(\sqrt{4x + 1}) \]
Paso 1: Derivada del argumento \( u = \sqrt{4x+1} \):
\[ u' = \frac{4}{2\sqrt{4x+1}} = \frac{2}{\sqrt{4x+1}} \]
Paso 2: Aplicamos \( [\cos u]' = -u' \sin u \):
\[ f'(x) = -\frac{2}{\sqrt{4x+1}} \sin(\sqrt{4x+1}) \]