Ejercicio 1: Cociente con tangentes
Derivar y simplificar: \[ f(x) = \frac{1 - \tan x}{1 + \tan x} \]
Paso 1: Identificamos \( u = 1 - \tan x \implies u' = -\sec^2 x \) y \( v = 1 + \tan x \implies v' = \sec^2 x \).
Paso 2: Aplicamos la regla del cociente:
\[ f'(x) = \frac{-\sec^2 x(1+\tan x) - (1-\tan x)(\sec^2 x)}{(1+\tan x)^2} \]
Paso 3: Simplificamos el numerador:
\[ -\sec^2 x - \sec^2 x \tan x - \sec^2 x + \sec^2 x \tan x = -2\sec^2 x \]
Resultado final: \[ f'(x) = \frac{-2\sec^2 x}{(1+\tan x)^2} = \frac{-2}{\cos^2 x (1+\tan x)^2} \]
Ejercicio 2: Tangente de una raíz
Derivar: \[ f(x) = \tan(\sqrt{x}) \]
Paso 1: Argumento \( u = \sqrt{x} \implies u' = \frac{1}{2\sqrt{x}} \).
Paso 2: Sustituimos en la fórmula:
\[ f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} (1 + \tan^2\sqrt{x}) = \frac{1}{2\sqrt{x}\cos^2\sqrt{x}} \]