Ejercicio 1: Potencia de secante
Derivar la función: \[ f(x) = \sec^3(x) \]
Paso 1: Tratamos como potencia \( [u^3]' = 3u^2 u' \) con \( u = \sec x \):
\[ u' = \sec x \tan x \]
Paso 2: Multiplicamos los términos:
\[ f'(x) = 3\sec^2 x (\sec x \tan x) = 3\sec^3 x \tan x \]
Ejercicio 2: Cociente con cosecante
Derivar: \[ f(x) = \frac{\csc x}{x} \]
Paso 1: Aplicamos regla del cociente con \( u = \csc x \implies u' = -\csc x \cot x \) y \( v = x \implies v' = 1 \):
\[ f'(x) = \frac{(-\csc x \cot x)(x) - (\csc x)(1)}{x^2} \]
Paso 2: Sacamos factor común \( -\csc x \):
\[ f'(x) = \frac{-\csc x(x\cot x + 1)}{x^2} \]