1. Derivada de la Secante
Como \( \sec x = \frac{1}{\cos x} = (\cos x)^{-1} \):
\[ [\sec x]' = -(\cos x)^{-2}(-\sin x) = \frac{\sin x}{\cos^2 x} = \sec x \cdot \tan x \]
Para la forma compuesta:
\[ [\sec(u(x))]' = u'(x) \cdot \sec(u(x)) \cdot \tan(u(x)) \]
📌 Ejemplo Concreto de Derivada de Secante:
Derivemos \( f(x) = \sec(3x) \):
$$f'(x) = 3 \sec(3x) \tan(3x)$$
2. Derivada de la Cosecante
Como \( \csc x = \frac{1}{\sin x} = (\sin x)^{-1} \):
\[ [\csc x]' = -(\sin x)^{-2}(\cos x) = -\frac{\cos x}{\sin^2 x} = -\csc x \cdot \cot x \]
Para la forma compuesta:
\[ [\csc(u(x))]' = -u'(x) \cdot \csc(u(x)) \cdot \cot(u(x)) \]
📌 Ejemplo Concreto de Derivada de Cosecante:
Derivemos \( g(x) = \csc(2x^2) \):
$$g'(x) = -4x \csc(2x^2) \cot(2x^2)$$
3. Ejemplos Resueltos
Ejemplo 1: Secante de un binomio lineal
Derivar \( f(x) = \sec(4x - 1) \).
\[ u'(x) = 4 \implies f'(x) = 4\sec(4x - 1)\tan(4x - 1) \]
Ejemplo 2: Cosecante con argumento cuadrático
Derivar \( f(x) = \csc(3x^2 + 2) \).
\[ u'(x) = 6x \implies f'(x) = -6x\csc(3x^2 + 2)\cot(3x^2 + 2) \]
Ejemplo 3: Producto con exponencial
Derivar \( f(x) = e^x \sec(2x) \).
\[ f'(x) = e^x \sec(2x) + e^x [2\sec(2x)\tan(2x)] = e^x \sec(2x)[1 + 2\tan(2x)] \]