Derivada del arcoseno y del arcocoseno

1. Derivada del Arcoseno

La función inversa del seno en \( [-1, 1] \) tiene por derivada en el intervalo abierto \( (-1, 1) \):

[\arcsin x]' = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}

Para una función compuesta \( u(x) \) con \( |u(x)| < 1 \):

[\arcsin(u(x))]' = \frac{u'(x)}{\sqrt{1 - [u(x)]^2}}

📌 Ejemplo Concreto de Derivada de Arcoseno:

Derivemos \( f(x) = \arcsin(3x) \) para \( |3x| < 1 \):

f'(x) = \frac{(3x)'}{\sqrt{1 - (3x)^2}} = \frac{3}{\sqrt{1 - 9x^2}}

2. Derivada del Arcocoseno

La derivada del arcocoseno es exactamente la opuesta a la del arcoseno:

[\arccos x]' = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}

Y en forma compuesta:

[\arccos(u(x))]' = -\frac{u'(x)}{\sqrt{1 - [u(x)]^2}}

📌 Ejemplo Concreto de Derivada de Arcocoseno:

Derivemos \( g(x) = \arccos(x^2) \) para \( |x^2| < 1 \):

g'(x) = -\frac{2x}{\sqrt{1 - x^4}}

3. Ejemplos Resueltos

Ejemplo 1: Arcoseno con argumento lineal

Derivar \( f(x) = \arcsin(2x - 1) \).

\[ u'(x) = 2 \implies f'(x) = \frac{2}{\sqrt{1 - (2x-1)^2}} = \frac{2}{\sqrt{1 - (4x^2 - 4x + 1)}} = \frac{2}{\sqrt{4x - 4x^2}} = \frac{1}{\sqrt{x - x^2}} \]

Ejemplo 2: Arcocoseno con argumento fraccionario

Derivar \( f(x) = \arccos\left(\frac{x}{3}\right) \).

\[ f'(x) = -\frac{1/3}{\sqrt{1 - x^2/9}} = -\frac{1/3}{\frac{\sqrt{9-x^2}}{3}} = -\frac{1}{\sqrt{9-x^2}} \]

Ejemplo 3: Producto con simplificación algebraica

Derivar \( f(x) = x\arcsin x + \sqrt{1 - x^2} \).

\[ f'(x) = (1)\arcsin x + x\left(\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\right) + \frac{-2x}{2\sqrt{1-x^2}} = \arcsin x + \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} - \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} = \arcsin x \]