Derivada de la arco tangente y de la arco cotangente

1. Derivada del Arcotangente

La función arcotangente es derivable en todo \( \mathbb{R} \) y su derivada no contiene radicales:

[\arctan x]' = \frac{1}{1 + x^2}

Para una función compuesta \( u(x) \):

[\arctan(u(x))]' = \frac{u'(x)}{1 + [u(x)]^2}

📌 Ejemplo Concreto de Derivada de Arcotangente:

Derivemos \( f(x) = \arctan(2x) \):

f'(x) = \frac{2}{1 + (2x)^2} = \frac{2}{1 + 4x^2}

Su derivada es simétrica con signo opuesto:

[\operatorname{arccot} x]' = -\frac{1}{1 + x^2} \qquad [\operatorname{arccot}(u(x))]' = -\frac{u'(x)}{1 + [u(x)]^2}

📌 Ejemplo Concreto de Derivada de Arcocotangente:

Derivemos \( g(x) = \operatorname{arccot}(5x) \):

g'(x) = -\frac{5}{1 + 25x^2}

Derivar \( f(x) = \arctan(3x^2) \).

\[ u'(x) = 6x \implies f'(x) = \frac{6x}{1 + (3x^2)^2} = \frac{6x}{1 + 9x^4} \]

Derivar \( f(x) = \arctan\left(\frac{x+1}{x-1}\right) \).

\[ u'(x) = \frac{1(x-1) - (x+1)(1)}{(x-1)^2} = \frac{-2}{(x-1)^2} \]

\[ 1 + u^2 = 1 + \frac{(x+1)^2}{(x-1)^2} = \frac{(x-1)^2 + (x+1)^2}{(x-1)^2} = \frac{2x^2 + 2}{(x-1)^2} \]

\[ f'(x) = \frac{-2/(x-1)^2}{\frac{2(x^2+1)}{(x-1)^2}} = -\frac{2}{2(x^2+1)} = -\frac{1}{x^2+1} \]

Derivar \( f(x) = \operatorname{arccot}(\sqrt{2x+1}) \).

\[ u'(x) = \frac{2}{2\sqrt{2x+1}} = \frac{1}{\sqrt{2x+1}} \]

\[ f'(x) = -\frac{1/\sqrt{2x+1}}{1 + (2x+1)} = -\frac{1}{(2x+2)\sqrt{2x+1}} \]