1. Definición y Problema
Una función potencial-exponencial tiene la forma general donde tanto la base como el exponente son variables:
No se pueden aplicar directamente ni la regla de la potencia ni la regla de la exponencial. Se requiere el método de derivación logarítmica.
La función \( y = x^{\sin x} \) tiene variables en base y exponente, por lo que no es aplicable ni la regla de la potencia pura ni la de la exponencial constante.
2. Método de Derivación Logarítmica Paso a Paso
Paso 1: Tomar logaritmos neperianos en ambos miembros:
\[ \ln y = \ln([u(x)]^{v(x)}) = v(x) \cdot \ln(u(x)) \]
Paso 2: Derivar implícitamente respecto de \( x \) aplicando la regla del producto en el segundo miembro:
\[ \frac{y'}{y} = v'(x) \cdot \ln(u(x)) + v(x) \cdot \frac{u'(x)}{u(x)} \]
Paso 3: Despejar \( y' \) multiplicando todo por \( y = u(x)^{v(x)} \):
\[ y' = [u(x)]^{v(x)} \left[ v'(x) \ln(u(x)) + v(x) \frac{u'(x)}{u(x)} \right] \]
Derivemos \( y = x^x \) para \( x > 0 \):
Despejamos \( y' \) sustituyendo \( y = x^x \):
3. Ejemplos Resueltos
Ejemplo 1: Caso canónico \( y = x^x \)
Derivar \( y = x^x \) con \( x > 0 \).
\[ \ln y = x \ln x \implies \frac{y'}{y} = (1)\ln x + x\left(\frac{1}{x}\right) = \ln x + 1 \]
\[ y' = x^x (\ln x + 1) \]
Ejemplo 2: Base trigonométrica y exponente variable
Derivar \( y = (\sin x)^x \) en \( (0, \pi) \).
\[ \ln y = x \ln(\sin x) \implies \frac{y'}{y} = 1 \cdot \ln(\sin x) + x \cdot \frac{\cos x}{\sin x} = \ln(\sin x) + x\cot x \]
\[ y' = (\sin x)^x [\ln(\sin x) + x\cot x] \]
Ejemplo 3: Base cuadrática con exponente lineal
Derivar \( y = (x^2 + 1)^{3x - 2} \).
\[ \ln y = (3x-2) \ln(x^2+1) \]
\[ \frac{y'}{y} = 3\ln(x^2+1) + (3x-2)\frac{2x}{x^2+1} = 3\ln(x^2+1) + \frac{6x^2 - 4x}{x^2+1} \]
\[ y' = (x^2 + 1)^{3x - 2} \left[ 3\ln(x^2+1) + \frac{6x^2 - 4x}{x^2+1} \right] \]