1. Criterio de la Primera Derivada para la Monotonía
Sea \( f(x) \) una función continua en un intervalo \( [a, b] \) y derivable en \( (a, b) \):
- Si \( f'(x) > 0 \) para todo \( x \in (a, b) \), entonces \( f(x) \) es estrictamente creciente en \( [a, b] \).
- Si \( f'(x) < 0 \) para todo \( x \in (a, b) \), entonces \( f(x) \) es estrictamente decreciente en \( [a, b] \).
- Si \( f'(x) = 0 \) para todo \( x \in (a, b) \), entonces \( f(x) \) es constante en \( [a, b] \).
Determinemos los intervalos de crecimiento y decrecimiento de \( f(x) = x^3 - 3x^2 \):
Evaluamos el signo de \( f'(x) \) en los intervalos:
- En \((-\infty, 0)\): \(f'(-1) = 9 > 0 \implies\) Estrictamente Creciente.
- En \((0, 2)\): \(f'(1) = -3 < 0 \implies\) Estrictamente Decreciente.
- En \((2, +\infty)\): \(f'(3) = 9 > 0 \implies\) Estrictamente Creciente.
2. Método de Determinación de Intervalos
Paso 1: Determinar el dominio de \( f(x) \).
Paso 2: Calcular la primera derivada \( f'(x) \) y resolver la ecuación \( f'(x) = 0 \) (puntos críticos).
Paso 3: Dividir la recta real en intervalos según los puntos críticos y las discontinuidades del dominio.
Paso 4: Evaluar el signo de \( f'(x) \) en un punto de prueba de cada intervalo.
3. Ejemplos Resueltos
Ejemplo 1: Polinomio de tercer grado
Estudiar la monotonía de \( f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 5 \).
\[ f'(x) = 6x^2 - 6x - 12 = 6(x^2 - x - 2) = 6(x-2)(x+1) \]
Puntos críticos: \( x = -1 \) y \( x = 2 \).
Intervalos: en \( (-\infty, -1) \), \( f' > 0 \) (creciente); en \( (-1, 2) \), \( f' < 0 \) (decreciente); en \( (2, \infty) \), \( f' > 0 \) (creciente).
Ejemplo 2: Función racional con asíntota
Estudiar la monotonía de \( f(x) = \frac{x^2}{x-1} \) (dominio: \( \mathbb{R} \setminus \{1\} \)).
\[ f'(x) = \frac{2x(x-1) - x^2(1)}{(x-1)^2} = \frac{x^2 - 2x}{(x-1)^2} = \frac{x(x-2)}{(x-1)^2} \]
Como \( (x-1)^2 > 0 \), el signo depende de \( x(x-2) \): creciente en \( (-\infty, 0) \cup (2, \infty) \); decreciente en \( (0, 1) \cup (1, 2) \).
Ejemplo 3: Función exponencial
Estudiar la monotonía de \( f(x) = (x-2)e^x \).
\[ f'(x) = (1)e^x + (x-2)e^x = (x-1)e^x \]
Como \( e^x > 0 \) siempre: \( f'(x) < 0 \) en \( (-\infty, 1) \) (decreciente) y \( f'(x) > 0 \) en \( (1, \infty) \) (creciente).