1. Definición de Extremos Relativos
Un punto \( x_0 \in \operatorname{Dom}(f) \) es:
- Máximo relativo: si existe un entorno \( U(x_0) \) tal que \( f(x) \le f(x_0) \) para todo \( x \in U(x_0) \).
- Mínimo relativo: si existe un entorno \( U(x_0) \) tal que \( f(x) \ge f(x_0) \) para todo \( x \in U(x_0) \).
Para la función \( f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 5 \):
En \( x = -1 \), \(f'\) pasa de \(+\) a \(-\) \(\implies\) Máximo Relativo en \((-1, 12)\).
En \( x = 2 \), \(f'\) pasa de \(-\) a \(+\) \(\implies\) Mínimo Relativo en \((2, -15)\).
2. Criterio del Cambio de Signo de la Primera Derivada
Si \( f(x) \) es continua en \( x_0 \) y derivable en sus proximidades:
Máximo relativo: \( f'(x) \) cambia de signo positivo a negativo al pasar por \( x_0 \) (la función pasa de crecer a decrecer).
Mínimo relativo: \( f'(x) \) cambia de signo negativo a positivo al pasar por \( x_0 \) (la función pasa de decrecer a crecer).
Sin extremo: Si \( f'(x) \) no cambia de signo, no hay extremo (punto de inflexión de tangente horizontal si \( f'(x_0) = 0 \)).
3. Ejemplos Resueltos
Ejemplo 1: Polinomio de tercer grado
Hallar los extremos de \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x - 1 \).
\[ f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 = 3(x^2 - 4x + 3) = 3(x-1)(x-3) = 0 \implies x=1, \; x=3 \]
En \( x = 1 \): \( f' \) pasa de \( + \) a \( - \implies \) Máximo relativo en \( (1, f(1)) = (1, 3) \).
En \( x = 3 \): \( f' \) pasa de \( - \) a \( + \implies \) Mínimo relativo en \( (3, f(3)) = (3, -1) \).
Ejemplo 2: Función racional
Hallar los extremos de \( f(x) = \frac{x^2+4}{x} \) (\( x \ne 0 \)).
\[ f'(x) = \frac{2x(x) - (x^2+4)(1)}{x^2} = \frac{x^2 - 4}{x^2} = 0 \implies x = \pm 2 \]
En \( x = -2 \): \( f' \) pasa de \( + \) a \( - \implies \) Máximo relativo en \( (-2, -4) \).
En \( x = 2 \): \( f' \) pasa de \( - \) a \( + \implies \) Mínimo relativo en \( (2, 4) \).
Ejemplo 3: Función con logaritmo
Hallar los extremos de \( f(x) = \frac{\ln x}{x} \) para \( x > 0 \).
\[ f'(x) = \frac{1 - \ln x}{x^2} = 0 \implies x = e \]
Para \( x < e \), \( f'(x) > 0 \); para \( x > e \), \( f'(x) < 0 \implies \) Máximo relativo en \( (e, 1/e) \).