1. Criterio de la Segunda Derivada
Sea \( f(x) \) dos veces derivable en un entorno de un punto crítico \( x_0 \) donde \( f'(x_0) = 0 \):
Si \( f''(x_0) < 0 \implies \) La gráfica es cóncava hacia abajo \( \cap \), luego hay un máximo relativo en \( x_0 \).
Si \( f''(x_0) > 0 \implies \) La gráfica es cóncava hacia arriba \( \cup \), luego hay un mínimo relativo en \( x_0 \).
Si \( f''(x_0) = 0 \implies \) El criterio no decide (caso dudoso).
2. Teorema General de la Derivada de Orden Superior
Si \( f'(x_0) = f''(x_0) = \dots = f^{(n-1)}(x_0) = 0 \) y \( f^{(n)}(x_0) \ne 0 \):
- Si \( n \) es par: hay un extremo relativo:
- Si \( f^{(n)}(x_0) < 0 \implies \) Máximo relativo.
- Si \( f^{(n)}(x_0) > 0 \implies \) Mínimo relativo.
- Si \( n \) es impar: no hay extremo relativo, sino un punto de inflexión de tangente horizontal.
Analicemos \( f(x) = x^4 \) en su punto crítico \( x = 0 \):
La primera derivada no nula es de orden par (\(n = 4\)) y positiva, lo que confirma un Mínimo Relativo en \( x = 0 \).
3. Ejemplos Resueltos
Ejemplo 1: Criterio estándar de la segunda derivada
Clasificar los puntos críticos de \( f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 1 \).
\[ f'(x) = 6x^2 - 6x - 12 = 6(x-2)(x+1) = 0 \implies x_1 = -1, \; x_2 = 2 \]
\[ f''(x) = 12x - 6 \]
En \( x = -1 \): \( f''(-1) = -18 < 0 \implies \) Máximo relativo.
En \( x = 2 \): \( f''(2) = 18 > 0 \implies \) Mínimo relativo.
Ejemplo 2: Caso de orden superior par (\( n = 4 \))
Clasificar el punto crítico \( x = 1 \) de \( f(x) = (x-1)^4 + 5 \).
\[ f'(x) = 4(x-1)^3 \implies f'(1) = 0 \]
\[ f''(x) = 12(x-1)^2 \implies f''(1) = 0 \]
\[ f'''(x) = 24(x-1) \implies f'''(1) = 0 \]
\[ f^{(4)}(x) = 24 \implies f^{(4)}(1) = 24 > 0 \]
Como el primer orden no nulo es \( n = 4 \) (par) y es positivo, hay un mínimo relativo en \( (1, 5) \).
Ejemplo 3: Caso de orden superior impar (\( n = 3 \))
Analizar \( f(x) = (x-2)^3 + 4 \) en \( x = 2 \).
\[ f'(x) = 3(x-2)^2 \implies f'(2) = 0 \]
\[ f''(x) = 6(x-2) \implies f''(2) = 0 \]
\[ f'''(x) = 6 \ne 0 \]
Al ser \( n = 3 \) (impar), no hay extremo: existe un punto de inflexión con tangente horizontal en \( (2, 4) \).