Ejercicio 1: Clasificación de extremos de función trigonométrica
Clasificar mediante el criterio de la segunda derivada los extremos de \( f(x) = \sin x + \cos x \) en \( [0, 2\pi] \).
Paso 1: Primera derivada y ceros:
\[ f'(x) = \cos x - \sin x = 0 \implies \cos x = \sin x \implies \tan x = 1 \]
En \( [0, 2\pi] \): \( x_1 = \frac{\pi}{4} \) y \( x_2 = \frac{5\pi}{4} \).
Paso 2: Segunda derivada:
\[ f''(x) = -\sin x - \cos x = -(\sin x + \cos x) = -f(x) \]
Paso 3: Evaluación de signos:
\[ f''\left(\frac{\pi}{4}\right) = -\left(\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -\sqrt{2} < 0 \implies \text{Máximo relativo en } x = \frac{\pi}{4} \]
\[ f''\left(\frac{5\pi}{4}\right) = -\left(-\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \sqrt{2} > 0 \implies \text{Mínimo relativo en } x = \frac{5\pi}{4} \]
Ejercicio 2: Parámetros con condición de segunda derivada
Determinar \( k \) para que \( f(x) = x^4 + kx^2 + 1 \) tenga un mínimo relativo en \( x = 0 \).
Paso 1: Derivadas:
\[ f'(x) = 4x^3 + 2kx \implies f'(0) = 0 \quad \forall k \]
\[ f''(x) = 12x^2 + 2k \implies f''(0) = 2k \]
Paso 2: Para que haya mínimo por la segunda derivada: \( f''(0) > 0 \implies 2k > 0 \implies k > 0 \).
Paso 3: ¿Qué ocurre si \( k = 0 \)?
Si \( k = 0 \), \( f(x) = x^4 + 1 \). Sus derivadas son \( f'(0)=f''(0)=f'''(0)=0 \) y \( f^{(4)}(0)=24 > 0 \implies \) También tiene un mínimo en \( x = 0 \).
Conclusión: Hay mínimo en \( x = 0 \) si y solo si \( k \ge 0 \).