Ejercicio 1: Extremos absolutos de función trigonométrica
Hallar los valores máximo y mínimo absolutos de \( f(x) = 2\sin x - \cos(2x) \) en \( [0, \pi] \).
Paso 1: Derivada:
\[ f'(x) = 2\cos x - (-2\sin(2x)) = 2\cos x + 4\sin x \cos x = 2\cos x (1 + 2\sin x) = 0 \]
Como \( x \in [0, \pi] \), \( \sin x \ge 0 \implies 1 + 2\sin x > 0 \). Luego \( \cos x = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} \).
Paso 2: Evaluamos candidatos:
- \( f(0) = 2(0) - \cos(0) = -1 \)
- \( f(\pi/2) = 2(1) - \cos(\pi) = 2 - (-1) = 3 \)
- \( f(\pi) = 2(0) - \cos(2\pi) = -1 \)
Conclusión: El máximo absoluto es \( 3 \) (en \( x = \pi/2 \)) y el mínimo absoluto es \( -1 \) (en \( x = 0 \) y \( x = \pi \)).
Ejercicio 2: Extremos absolutos con raíces
Determinar los extremos globales de \( f(x) = x - \sqrt{x} \) en el intervalo \( [0, 4] \).
Paso 1: Derivada para \( x > 0 \):
\[ f'(x) = 1 - \frac{1}{2\sqrt{x}} = 0 \implies 2\sqrt{x} = 1 \implies \sqrt{x} = \frac{1}{2} \implies x = \frac{1}{4} \]
Paso 2: Evaluamos la función en \( x = 0 \), \( x = 1/4 \) y \( x = 4 \):
\[ f(0) = 0 \]
\[ f(1/4) = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} = -\frac{1}{4} = -0.25 \]
\[ f(4) = 4 - 2 = 2 \]
Conclusión: Máximo absoluto: \( 2 \) en \( x = 4 \). Mínimo absoluto: \( -1/4 \) en \( x = 1/4 \).