Ejercicio 1: Parámetros para cumplir condiciones de inflexión
Determinar \( a \) y \( b \) para que la curva \( y = ax^3 + bx^2 + 1 \) tenga un punto de inflexión en \( (1, 3) \).
Paso 1: El punto pertenece a la curva: \( f(1) = 3 \):
\[ a(1)^3 + b(1)^2 + 1 = 3 \implies a + b + 1 = 3 \implies a + b = 2 \]
Paso 2: Condición de punto de inflexión: \( f''(1) = 0 \):
\[ f'(x) = 3ax^2 + 2bx \implies f''(x) = 6ax + 2b \]
\[ f''(1) = 6a + 2b = 0 \implies 3a + b = 0 \implies b = -3a \]
Paso 3: Resolvemos el sistema:
\[ a + (-3a) = 2 \implies -2a = 2 \implies a = -1 \]
\[ b = -3(-1) = 3 \]
Resultado: \( a = -1 \) y \( b = 3 \).
Ejercicio 2: Curvatura e inflexión en función con logaritmo
Determinar la concavidad y puntos de inflexión de \( f(x) = x^2 \ln x \) en \( (0, \infty) \).
Paso 1: Calculamos las derivadas sucesivas:
\[ f'(x) = 2x\ln x + x^2\left(\frac{1}{x}\right) = 2x\ln x + x = x(2\ln x + 1) \]
\[ f''(x) = (1)(2\ln x + 1) + x\left(\frac{2}{x}\right) = 2\ln x + 1 + 2 = 2\ln x + 3 \]
Paso 2: Ceros de la segunda derivada:
\[ 2\ln x + 3 = 0 \implies \ln x = -\frac{3}{2} \implies x = e^{-3/2} = \frac{1}{e\sqrt{e}} \]
Paso 3: Intervalos de curvatura:
Para \( 0 < x < e^{-3/2} \): \( f''(x) < 0 \implies \) Cóncava hacia abajo.
Para \( x > e^{-3/2} \): \( f''(x) > 0 \implies \) Cóncava hacia arriba.
Punto de inflexión en \( x = e^{-3/2} \), con \( f(e^{-3/2}) = (e^{-3})(-3/2) = -\frac{3}{2e^3} \).