1. Concavidad y Convexidad (Curvatura)
Sea \( f(x) \) una función dos veces derivable en un intervalo \( I \):
- Si \( f''(x) > 0 \) para todo \( x \in I \), la función es cóncava hacia arriba (o convexa \( \cup \)): la gráfica queda por encima de sus rectas tangentes.
- Si \( f''(x) < 0 \) para todo \( x \in I \), la función es cóncava hacia abajo (o cóncava \( \cap \)): la gráfica queda por debajo de sus rectas tangentes.
Determinemos la curvatura de \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x \):
- Si \( x < 2 \implies f''(x) < 0 \implies\) Cóncava hacia abajo (\(\cap\)).
- Si \( x > 2 \implies f''(x) > 0 \implies\) Convexa hacia arriba (\(\cup\)).
En \( x = 2 \) la curva cambia de curvatura, existiendo un Punto de Inflexión en \((2, 2)\).
2. Puntos de Inflexión
Un punto de inflexión es aquel punto del dominio donde la gráfica de la función cambia el sentido de su curvatura (pasa de cóncava a convexa o viceversa).
Condición necesaria: Si \( x_0 \) es punto de inflexión y existe \( f''(x_0) \), entonces \( f''(x_0) = 0 \).
Condición suficiente: Que \( f''(x) \) cambie de signo a izquierda y derecha de \( x_0 \) (o bien que \( f'''(x_0) \ne 0 \)).
3. Ejemplos Resueltos
Ejemplo 1: Polinomio de tercer grado
Estudiar curvatura e inflexión de \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 5x - 2 \).
\[ f'(x) = 3x^2 - 12x + 5 \implies f''(x) = 6x - 12 = 6(x-2) = 0 \implies x = 2 \]
En \( (-\infty, 2) \): \( f'' < 0 \implies \) Cóncava hacia abajo \( \cap \).
En \( (2, \infty) \): \( f'' > 0 \implies \) Cóncava hacia arriba \( \cup \).
Hay un punto de inflexión en \( (2, f(2)) = (2, -8) \).
Ejemplo 2: Función bruja de Agnesi (racional simétrica)
Hallar los puntos de inflexión de \( f(x) = \frac{1}{x^2+1} \).
\[ f'(x) = \frac{-2x}{(x^2+1)^2} \implies f''(x) = \frac{-2(x^2+1)^2 - (-2x)[2(x^2+1)(2x)]}{(x^2+1)^4} = \frac{6x^2 - 2}{(x^2+1)^3} \]
\[ 6x^2 - 2 = 0 \implies x^2 = \frac{1}{3} \implies x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} = \pm \frac{\sqrt{3}}{3} \]
Puntos de inflexión en \( \left(\pm \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{3}{4}\right) \).
Ejemplo 3: Campana de Gauss
Hallar los puntos de inflexión de \( f(x) = e^{-x^2} \).
\[ f'(x) = -2x e^{-x^2} \implies f''(x) = -2e^{-x^2} + (-2x)(-2x e^{-x^2}) = (4x^2 - 2)e^{-x^2} \]
Como \( e^{-x^2} > 0 \): \( 4x^2 - 2 = 0 \implies x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} \).
Puntos de inflexión en \( \left(\pm \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{\sqrt{e}}\right) \).