1. Ecuación de la Recta Tangente
La recta tangente a la curva \( y = f(x) \) en el punto de tangencia \( P(a, f(a)) \) tiene como pendiente el valor de la derivada \( m = f'(a) \):
Hallemos las rectas tangente y normal a \( f(x) = x^2 + 1 \) en el punto \( x_0 = 1 \):
1) Punto de tangencia: \( y_0 = f(1) = 2 \implies P(1, 2) \).
2) Pendiente: \( f'(x) = 2x \implies m = f'(1) = 2 \).
2. Ecuación de la Recta Normal
La recta normal es la recta perpendicular a la tangente en el punto \( P(a, f(a)) \). Su pendiente es el inverso opuesto \( m_n = -\frac{1}{f'(a)} \) (si \( f'(a) \ne 0 \)):
Si \( f'(a) = 0 \), la tangente es horizontal (\( y = f(a) \)) y la normal es vertical (\( x = a \)).
3. Ejemplos Resueltos
Ejemplo 1: Recta tangente y normal en punto dado
Hallar las rectas tangente y normal a \( f(x) = x^2 - 4x + 3 \) en \( x = 3 \).
\[ f(3) = 9 - 12 + 3 = 0 \implies P(3, 0) \]
\[ f'(x) = 2x - 4 \implies m = f'(3) = 2(3) - 4 = 2 \]
Recta tangente: \( y - 0 = 2(x - 3) \implies y = 2x - 6 \).
Recta normal: \( y - 0 = -\frac{1}{2}(x - 3) \implies y = -\frac{1}{2}x + \frac{3}{2} \).
Ejemplo 2: Tangente paralela a una recta dada
Hallar la recta tangente a \( f(x) = x^3 - 8x + 1 \) que sea paralela a la recta \( r: 4x - y + 5 = 0 \).
La pendiente de \( r \) es \( m = 4 \). Exigimos \( f'(a) = 4 \):
\[ 3a^2 - 8 = 4 \implies 3a^2 = 12 \implies a^2 = 4 \implies a = \pm 2 \]
Para \( a = 2 \): \( f(2) = 8 - 16 + 1 = -7 \implies y - (-7) = 4(x - 2) \implies y = 4x - 15 \).
Para \( a = -2 \): \( f(-2) = -8 + 16 + 1 = 9 \implies y - 9 = 4(x + 2) \implies y = 4x + 17 \).
Ejemplo 3: Tangentes trazadas desde un punto exterior
Hallar las rectas tangentes a la parábola \( f(x) = x^2 \) que pasan por el punto exterior \( Q(0, -4) \).
Sea \( P(a, a^2) \) el punto de tangencia desconocido. La pendiente es \( f'(a) = 2a \).
Ecuación de la tangente en \( a \): \( y - a^2 = 2a(x - a) \).
Imponemos que pase por \( Q(0, -4) \):
\[ -4 - a^2 = 2a(0 - a) \implies -4 - a^2 = -2a^2 \implies a^2 = 4 \implies a = \pm 2 \]
Las dos tangentes son: \( y = 4x - 4 \) (en \( a = 2 \)) y \( y = -4x - 4 \) (en \( a = -2 \)).