1. Algoritmo General de Estudio y Representación
Para representar de forma precisa la gráfica de una función \( f(x) \), se sigue un esquema sistemático:
- Dominio y Continuidad: Puntos de no definición, asíntotas verticales.
- Simetrías y Periodicidad: Si \( f(-x) = f(x) \) es par (simetría eje \( Y \)); si \( f(-x) = -f(x) \) es impar (simetría origen).
- Puntos de corte con los ejes:
- Eje \( Y \): \( (0, f(0)) \) (si \( 0 \in \operatorname{Dom}(f) \)).
- Eje \( X \): soluciones de \( f(x) = 0 \).
- Asíntotas y ramas infinitas: Verticales, horizontales y oblicuas.
- Monotonía y extremos relativos (\( f' \)): Crecimiento, decrecimiento, máximos y mínimos.
- Curvatura y puntos de inflexión (\( f'' \)): Concavidad, convexidad y cambios de curvatura.
Para la curva \( f(x) = \frac{x^2}{x - 1} \):
- Dominio: \( \mathbb{R} \setminus \{1\} \). Asíntota vertical en \( x = 1 \).
- Asíntota oblicua: \( \frac{x^2}{x - 1} = x + 1 + \frac{1}{x - 1} \implies y = x + 1 \).
- Derivada: \( f'(x) = \frac{x(x - 2)}{(x - 1)^2} = 0 \implies \) Máximo local en \((0, 0)\), Mínimo local en \((2, 4)\).
2. Ejemplos de Estudio Completo
Ejemplo 1: Función polinómica \( f(x) = x^3 - 3x \)
Dominio: \( \mathbb{R} \). Impar: \( f(-x) = -f(x) \). Cortes: \( (0, 0) \), \( (\pm\sqrt{3}, 0) \).
\[ f'(x) = 3x^2 - 3 = 0 \implies x = \pm 1 \implies \text{Máx: } (-1, 2), \quad \text{Mín: } (1, -2) \]
\[ f''(x) = 6x = 0 \implies x = 0 \implies \text{Inflexión en } (0, 0) \]
Ejemplo 2: Función racional con asíntota oblicua \( f(x) = \frac{x^2-1}{x} \)
Dominio: \( \mathbb{R} \setminus \{0\} \). Asíntota vertical: \( x = 0 \) (\( \lim_{x \to 0^\pm} f(x) = \mp\infty \)).
Asíntota oblicua: \( f(x) = x - \frac{1}{x} \implies y = x \).
\[ f'(x) = 1 + \frac{1}{x^2} > 0 \implies \text{Siempre estrictamente creciente (sin extremos)} \]
Ejemplo 3: Función exponencial amortiguada \( f(x) = x e^{-x} \)
Dominio: \( \mathbb{R} \). Corte: \( (0, 0) \). Asíntota horizontal: \( \lim_{x \to +\infty} x e^{-x} = 0 \implies y = 0 \); a \( -\infty \to -\infty \).
\[ f'(x) = (1-x)e^{-x} = 0 \implies x = 1 \implies \text{Máximo relativo en } (1, 1/e) \]
\[ f''(x) = (x-2)e^{-x} = 0 \implies x = 2 \implies \text{Punto de inflexión en } (2, 2/e^2) \]