Ejercicio 1: Estudio completo de función racional simétrica
Realizar el estudio y esbozo de la gráfica de: \[ f(x) = \frac{x^2}{x^2 - 4} \]
1. Dominio: \( x^2 - 4 = 0 \implies x = \pm 2 \implies \operatorname{Dom}(f) = \mathbb{R} \setminus \{-2, 2\} \).
2. Simetría: \( f(-x) = \frac{(-x)^2}{(-x)^2-4} = f(x) \implies \) Función par (simetría respecto al eje \( Y \)).
3. Cortes: \( f(0) = 0 \implies (0, 0) \).
4. Asíntotas:
- Verticales: \( x = -2 \) y \( x = 2 \).
- Horizontal: \( \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^2}{x^2-4} = 1 \implies y = 1 \).
5. Monotonía y extremos:
\[ f'(x) = \frac{2x(x^2-4) - x^2(2x)}{(x^2-4)^2} = \frac{-8x}{(x^2-4)^2} = 0 \implies x = 0 \]
Para \( x < 0 \), \( f' > 0 \) (creciente). Para \( x > 0 \), \( f' < 0 \) (decreciente). Máximo relativo en \( (0, 0) \).
Ejercicio 2: Asíntota oblicua y extremos
Estudiar las asíntotas y extremos relativos de: \[ f(x) = \frac{x^2 + 1}{x} \]
Dominio: \( \mathbb{R} \setminus \{0\} \). Impar.
Asíntotas: Vertical en \( x = 0 \). Oblicua: \( f(x) = x + \frac{1}{x} \implies y = x \).
Derivada: \( f'(x) = 1 - \frac{1}{x^2} = \frac{x^2-1}{x^2} = 0 \implies x = \pm 1 \).
Máximo relativo en \( (-1, -2) \) y mínimo relativo en \( (1, 2) \).