Ejercicio 1: Descomposición de un número en dos sumandos
Descomponer el número \( 36 \) en dos sumandos positivos tales que el producto de uno de ellos por el cuadrado del otro sea máximo.
Paso 1: Sean \( x, y > 0 \) tales que \( x + y = 36 \implies y = 36 - x \).
Paso 2: Función objetivo a maximizar: \( P(x) = x \cdot y^2 = x(36 - x)^2 \).
Paso 3: Derivada:
\[ P'(x) = 1 \cdot (36-x)^2 + x \cdot 2(36-x)(-1) = (36-x)[(36-x) - 2x] = (36-x)(36-3x) \]
Paso 4: Puntos críticos en \( (0, 36) \):
\[ 36 - 3x = 0 \implies 3x = 36 \implies x = 12 \]
Entonces \( y = 36 - 12 = 24 \).
Paso 5: Comprobación de máximo: para \( x < 12 \), \( P' > 0 \); para \( x > 12 \), \( P' < 0 \implies \) Máximo.
Resultado: Los números son \( 12 \) y \( 24 \).
Ejercicio 2: Distancia mínima de un punto a una recta
Hallar el punto de la parábola \( y = x^2 \) más cercano al punto \( A(0, 2) \).
Paso 1: Punto genérico de la curva \( P(x, x^2) \). Cuadrado de la distancia:
\[ D(x) = (x - 0)^2 + (x^2 - 2)^2 = x^2 + x^4 - 4x^2 + 4 = x^4 - 3x^2 + 4 \]
Paso 2: Derivada para minimizar \( D(x) \):
\[ D'(x) = 4x^3 - 6x = 2x(2x^2 - 3) = 0 \]
Soluciones: \( x = 0 \) o \( x = \pm \sqrt{3/2} = \pm \frac{\sqrt{6}}{2} \).
Paso 3: Segunda derivada \( D''(x) = 12x^2 - 6 \):
\[ D''(0) = -6 < 0 \; (\text{máximo local relativo}) \]
\[ D''\left(\pm\sqrt{3/2}\right) = 12(3/2) - 6 = 18 - 6 = 12 > 0 \; (\text{mínimos absolutos}) \]
Conclusión: Hay dos puntos más cercanos: \( \left(\frac{\sqrt{6}}{2}, \frac{3}{2}\right) \) y \( \left(-\frac{\sqrt{6}}{2}, \frac{3}{2}\right) \).