Ejercicio 1: Recta tangente con función exponencial
Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva \( f(x) = e^{2x-4} \) en el punto donde corta a la recta \( y = 1 \).
Paso 1: Hallamos el punto de corte con \( y = 1 \):
\[ e^{2x-4} = 1 \implies 2x - 4 = 0 \implies x = 2 \implies P(2, 1) \]
Paso 2: Calculamos la derivada en \( x = 2 \):
\[ f'(x) = 2e^{2x-4} \implies m = f'(2) = 2e^0 = 2 \]
Paso 3: Ecuación de la recta tangente:
\[ y - 1 = 2(x - 2) \implies y = 2x - 4 + 1 \implies y = 2x - 3 \]
Ejercicio 2: Área del triángulo formado por la tangente y los ejes
Calcular el área del triángulo determinado por los ejes coordenados y la recta tangente a la hipérbola \( f(x) = \frac{4}{x} \) en el punto de abscisa \( x = 2 \).
Paso 1: Punto de tangencia y pendiente:
\[ f(2) = \frac{4}{2} = 2 \implies P(2, 2) \]
\[ f'(x) = -\frac{4}{x^2} \implies m = f'(2) = -\frac{4}{4} = -1 \]
Paso 2: Ecuación de la recta tangente:
\[ y - 2 = -1(x - 2) \implies y = -x + 4 \implies x + y = 4 \]
Paso 3: Cortes con los ejes coordenados:
Con el eje \( Y \) (\( x = 0 \)): \( y = 4 \implies (0, 4) \).
Con el eje \( X \) (\( y = 0 \)): \( x = 4 \implies (4, 0) \).
Paso 4: Área del triángulo rectángulo:
\[ \text{Área} = \frac{\text{base} \times \text{altura}}{2} = \frac{4 \times 4}{2} = 8 \text{ u}^2 \]