Máximos y mínimos absolutos. Teorema de Weierstrass

1. Teorema de Weierstrass para Extremos Absolutos

Si una función \( f(x) \) es continua en un intervalo cerrado y acotado \( [a, b] \), entonces alcanza de forma garantizada un máximo absoluto \( M \) y un mínimo absoluto \( m \) en dicho intervalo.

\exists x_m, x_M \in [a, b] \quad \text{tales que} \quad f(x_m) \le f(x) \le f(x_M) \quad \forall x \in [a, b]

📌 Ejemplo Concreto de Extremos Absolutos en Intervalo Compacto:

Hallemos el máximo y mínimo absolutos de \( f(x) = 2x^3 - 3x^2 \) en \([-1, 2]\):

Puntos críticos: \(f'(x) = 6x(x - 1) = 0 \implies x = 0, \; x = 1\).

f(-1) = -5, \quad f(0) = 0, \quad f(1) = -1, \quad f(2) = 4

Mínimo absoluto: \(-5\) en \(x = -1\). Máximo absoluto: \(4\) en \(x = 2\).

2. Procedimiento Sistemático de Búsqueda

Los extremos absolutos solo pueden encontrarse en tres conjuntos de candidatos:

Puntos críticos interiores: soluciones de \( f'(x) = 0 \) que pertenezcan al intervalo abierto \( (a, b) \).
Puntos singulares o de no derivabilidad: puntos interiores \( x \in (a, b) \) donde no exista \( f'(x) \).
Extremos del intervalo: los bordes \( x = a \) y \( x = b \).

Basta evaluar \( f(x) \) en todos estos candidatos: el mayor valor numérico es el máximo absoluto y el menor es el mínimo absoluto.

3. Ejemplos Resueltos

Ejemplo 1: Polinomio en intervalo cerrado

Hallar los extremos absolutos de \( f(x) = x^3 - 3x^2 + 1 \) en \( [-1, 3] \).

1. Puntos críticos: \( f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x-2) = 0 \implies x = 0, \; x = 2 \) (ambos en \( (-1, 3) \)).

2. Evaluamos la función:

Borde izquierdo: \( f(-1) = (-1)^3 - 3(-1)^2 + 1 = -3 \)
Crítico 1: \( f(0) = 1 \)
Crítico 2: \( f(2) = 2^3 - 3(4) + 1 = -3 \)
Borde derecho: \( f(3) = 27 - 27 + 1 = 1 \)

Máximo absoluto: \( 1 \) (alcanzado en \( x = 0 \) y \( x = 3 \)).

Mínimo absoluto: \( -3 \) (alcanzado en \( x = -1 \) y \( x = 2 \)).

Ejemplo 2: Función con valor absoluto (punto no derivable)

Hallar los extremos absolutos de \( f(x) = |x-2| - x \) en \( [0, 4] \).

Puntos a evaluar: bordes \( x=0, 4 \) y punto anguloso \( x=2 \):

\[ f(0) = 2 - 0 = 2, \quad f(2) = 0 - 2 = -2, \quad f(4) = 2 - 4 = -2 \]

Máximo absoluto: \( 2 \) en \( x = 0 \). Mínimo absoluto: \( -2 \) en \( x = 2 \) y \( x = 4 \).

Ejemplo 3: Función racional en intervalo cerrado

Hallar los extremos absolutos de \( f(x) = \frac{x}{x^2+1} \) en \( [0, 3] \).

\[ f'(x) = \frac{1-x^2}{(x^2+1)^2} = 0 \implies x = 1 \in (0, 3) \]

\[ f(0) = 0, \quad f(1) = \frac{1}{2} = 0.5, \quad f(3) = \frac{3}{10} = 0.3 \]

Máximo absoluto: \( 1/2 \) en \( x = 1 \). Mínimo absoluto: \( 0 \) en \( x = 0 \).