Ejercicio 1: Extremos relativos en función exponencial
Determinar las coordenadas de los extremos relativos de \( f(x) = (x^2 - 3)e^{-x} \).
Paso 1: Derivamos por producto:
\[ f'(x) = 2x e^{-x} + (x^2 - 3)(-e^{-x}) = (-x^2 + 2x + 3)e^{-x} = -(x-3)(x+1)e^{-x} \]
Paso 2: Puntos críticos: \( -(x-3)(x+1) = 0 \implies x = -1, \; x = 3 \).
Paso 3: Estudio del signo:
- Para \( x < -1 \): \( f' < 0 \); para \( -1 < x < 3 \): \( f' > 0 \implies \) Mínimo relativo en \( x = -1 \), con \( f(-1) = -2e \).
- Para \( x > 3 \): \( f' < 0 \implies \) Máximo relativo en \( x = 3 \), con \( f(3) = 6e^{-3} = \frac{6}{e^3} \).
Ejercicio 2: Parámetros a determinar a partir de un extremo
Calcular \( a \) y \( b \) para que \( f(x) = x^3 + ax^2 + bx + 5 \) tenga un extremo relativo en \( (2, -7) \).
Paso 1: Condición de pertenencia del punto: \( f(2) = -7 \):
\[ 2^3 + a(2^2) + b(2) + 5 = 8 + 4a + 2b + 5 = -7 \implies 4a + 2b = -20 \implies 2a + b = -10 \]
Paso 2: Condición de extremo: \( f'(2) = 0 \):
\[ f'(x) = 3x^2 + 2ax + b \implies f'(2) = 12 + 4a + b = 0 \implies 4a + b = -12 \]
Paso 3: Restamos las ecuaciones:
\[ (4a + b) - (2a + b) = -12 - (-10) \implies 2a = -2 \implies a = -1 \]
\[ b = -10 - 2(-1) = -8 \]
Resultado: \( a = -1 \) y \( b = -8 \).