Ejercicio 1: Monotonía con raíces cuadradas
Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de \( f(x) = x \sqrt{4-x^2} \).
Paso 1: Dominio: \( 4 - x^2 \ge 0 \implies x \in [-2, 2] \).
Paso 2: Derivada en \( (-2, 2) \):
\[ f'(x) = \sqrt{4-x^2} + x \left(\frac{-2x}{2\sqrt{4-x^2}}\right) = \sqrt{4-x^2} - \frac{x^2}{\sqrt{4-x^2}} = \frac{4 - 2x^2}{\sqrt{4-x^2}} \]
Paso 3: Raíces de \( f'(x) = 0 \): \( 4 - 2x^2 = 0 \implies x^2 = 2 \implies x = \pm \sqrt{2} \).
Paso 4: Signo de \( f'(x) \):
- En \( (-2, -\sqrt{2}) \): \( f'(x) < 0 \implies \) decreciente.
- En \( (-\sqrt{2}, \sqrt{2}) \): \( f'(x) > 0 \implies \) creciente.
- En \( (\sqrt{2}, 2) \): \( f'(x) < 0 \implies \) decreciente.
Ejercicio 2: Monotonía de función logarítmica
Estudiar el crecimiento de \( f(x) = \frac{\ln x}{x} \) en su dominio \( (0, \infty) \).
Paso 1: Derivada:
\[ f'(x) = \frac{\frac{1}{x} \cdot x - \ln x \cdot 1}{x^2} = \frac{1 - \ln x}{x^2} \]
Paso 2: Punto crítico: \( 1 - \ln x = 0 \implies \ln x = 1 \implies x = e \).
Paso 3: Conclusión:
En \( (0, e) \), \( \ln x < 1 \implies f'(x) > 0 \) (creciente). En \( (e, \infty) \), \( \ln x > 1 \implies f'(x) < 0 \) (decreciente).