Ejercicio 1: Derivación logarítmica con producto múltiple
Derivar utilizando el método logarítmico para simplificar el cálculo: \[ y = \frac{(x+1)^3 (x-2)^4}{(x^2 + 5)^2} \]
Paso 1: Aplicamos logaritmos en ambos miembros:
\[ \ln y = 3\ln(x+1) + 4\ln(x-2) - 2\ln(x^2+5) \]
Paso 2: Derivamos término a término respecto de \( x \):
\[ \frac{y'}{y} = \frac{3}{x+1} + \frac{4}{x-2} - \frac{4x}{x^2+5} \]
Paso 3: Despejamos \( y' \):
\[ y' = \frac{(x+1)^3 (x-2)^4}{(x^2 + 5)^2} \left[ \frac{3}{x+1} + \frac{4}{x-2} - \frac{4x}{x^2+5} \right] \]
Ejercicio 2: Exponente exponencial \( y = x^{e^x} \)
Calcular la derivada de: \[ y = x^{e^x} \quad (x > 0) \]
Paso 1: Tomamos logaritmos:
\[ \ln y = e^x \ln x \]
Paso 2: Derivamos el producto:
\[ \frac{y'}{y} = e^x \ln x + e^x \cdot \frac{1}{x} = e^x \left( \ln x + \frac{1}{x} \right) \]
Paso 3: Multiplicamos por \( y \):
\[ y' = x^{e^x} \cdot e^x \left( \ln x + \frac{1}{x} \right) \]