Ejercicio 1: Arcotangente de exponencial
Derivar y simplificar: \[ f(x) = \arctan(e^x) \]
Paso 1: Argumento \( u = e^x \implies u' = e^x \).
Paso 2: Denominador \( 1 + u^2 = 1 + (e^x)^2 = 1 + e^{2x} \).
Paso 3: Ensamblamos la derivada:
\[ f'(x) = \frac{e^x}{1 + e^{2x}} \]
Ejercicio 2: Suma de arcotangentes inversas
Demostrar que la derivada de \( f(x) = \arctan(x) + \arctan\left(\frac{1}{x}\right) \) es nula para \( x > 0 \).
Paso 1: Derivada del primer término: \( [\arctan x]' = \frac{1}{1+x^2} \).
Paso 2: Derivada del segundo término con \( u = 1/x \implies u' = -1/x^2 \):
\[ \left[\arctan\left(\frac{1}{x}\right)\right]' = \frac{-1/x^2}{1 + 1/x^2} = \frac{-1/x^2}{\frac{x^2+1}{x^2}} = -\frac{1}{1+x^2} \]
Paso 3: Sumamos ambas derivadas:
\[ f'(x) = \frac{1}{1+x^2} - \frac{1}{1+x^2} = 0 \]
Conclusión: Al ser su derivada cero, \( f(x) \) es constante (vale \( \pi/2 \) para todo \( x > 0 \)).