Ejercicio 1: Arcoseno de una función racional
Derivar y simplificar: \[ f(x) = \arcsin\left(\frac{1}{x}\right) \quad (|x| > 1) \]
Paso 1: Argumento \( u = \frac{1}{x} \implies u' = -\frac{1}{x^2} \).
Paso 2: Aplicamos la fórmula del arcoseno:
\[ f'(x) = \frac{-1/x^2}{\sqrt{1 - 1/x^2}} = \frac{-1/x^2}{\frac{\sqrt{x^2-1}}{|x|}} = -\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}} \]
Ejercicio 2: Arcocoseno de una exponencial
Derivar: \[ f(x) = \arccos(e^{2x}) \]
Paso 1: Derivada de \( u = e^{2x} \implies u' = 2e^{2x} \).
Paso 2: Sustituimos en la derivada del arcocoseno:
\[ f'(x) = -\frac{2e^{2x}}{\sqrt{1 - (e^{2x})^2}} = -\frac{2e^{2x}}{\sqrt{1 - e^{4x}}} \]