Derivada de la tangente y de la cotangente

1. Derivada de la Tangente

Definiendo \( \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} \) y aplicando la regla del cociente, se obtienen tres expresiones equivalentes:

[\tan x]' = 1 + \tan^2 x = \frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x

Para la forma compuesta con argumento \( u(x) \):

[\tan u]' = u'(1 + \tan^2 u) = \frac{u'}{\cos^2 u} = u' \sec^2 u

📌 Ejemplo Concreto de Derivada de Tangente:

Derivemos \( f(x) = \tan(5x) \) expresando el resultado en sus formas equivalentes:

f'(x) = \frac{5}{\cos^2(5x)} = 5(1 + \tan^2(5x)) = 5\sec^2(5x)

Análogamente, para \( \cot x = \frac{\cos x}{\sin x} \):

[\cot x]' = -(1 + \cot^2 x) = -\frac{1}{\sin^2 x} = -\csc^2 x

En su forma compuesta:

[\cot u]' = -u'(1 + \cot^2 u) = -\frac{u'}{\sin^2 u}

📌 Ejemplo Concreto de Derivada de Cotangente:

Derivemos \( g(x) = \cot(x^2) \):

g'(x) = -\frac{2x}{\sin^2(x^2)} = -2x(1 + \cot^2(x^2))

Derivar \( f(x) = \tan(2x^3 - x) \).

\[ u'(x) = 6x^2 - 1 \implies f'(x) = \frac{6x^2 - 1}{\cos^2(2x^3 - x)} = (6x^2 - 1)(1 + \tan^2(2x^3 - x)) \]

Derivar \( f(x) = \cot(e^{2x}) \).

\[ u'(x) = 2e^{2x} \implies f'(x) = -\frac{2e^{2x}}{\sin^2(e^{2x})} = -2e^{2x}(1 + \cot^2(e^{2x})) \]

Derivar \( f(x) = x^2 \tan^2(3x) \).

\[ [\tan^2(3x)]' = 2\tan(3x) \cdot [3(1+\tan^2(3x))] = 6\tan(3x)(1+\tan^2(3x)) \]

\[ f'(x) = 2x \tan^2(3x) + x^2 [6\tan(3x)(1+\tan^2(3x))] = 2x\tan(3x)[\tan(3x) + 3x(1+\tan^2(3x))] \]