Ejercicio 1: Potencias con exponentes negativos y fraccionarios
Derivar expresando el resultado con exponentes positivos y radicales: \[ f(x) = \frac{3}{x^4} - \frac{2}{\sqrt[3]{x}} \]
Paso 1: Convertimos a exponentes fraccionarios y negativos:
\[ f(x) = 3x^{-4} - 2x^{-1/3} \]
Paso 2: Derivamos término a término:
\[ f'(x) = 3(-4x^{-5}) - 2\left(-\frac{1}{3}x^{-4/3}\right) = -12x^{-5} + \frac{2}{3}x^{-4/3} \]
Paso 3: Reescribimos con fracciones y raíces:
\[ f'(x) = -\frac{12}{x^5} + \frac{2}{3\sqrt[3]{x^4}} = -\frac{12}{x^5} + \frac{2}{3x\sqrt[3]{x}} \]
Ejercicio 2: Raíz cúbica de polinomio compuesto
Derivar la función: \[ f(x) = \sqrt[3]{(x^3 - 2x + 1)^2} \]
Paso 1: Expresamos como exponente fraccionario \( f(x) = (x^3 - 2x + 1)^{2/3} \).
Paso 2: Aplicamos la regla de la cadena:
\[ f'(x) = \frac{2}{3}(x^3 - 2x + 1)^{-1/3} \cdot (3x^2 - 2) \]
Paso 3: Escribimos en forma de fracción con radical:
\[ f'(x) = \frac{2(3x^2 - 2)}{3\sqrt[3]{x^3 - 2x + 1}} \]