Ejercicio 1: Cociente con simplificación algebraica
Derivar y simplificar al máximo: \( f(x) = \frac{x^2 - 4}{x^2 + 4} \).
Paso 1: Identificamos \( u = x^2 - 4 \implies u' = 2x \) y \( v = x^2 + 4 \implies v' = 2x \).
Paso 2: Aplicamos la regla del cociente:
\[ f'(x) = \frac{u'v - uv'}{v^2} = \frac{2x(x^2+4) - (x^2-4)(2x)}{(x^2+4)^2} \]
Paso 3: Desarrollamos el numerador:
\[ 2x^3 + 8x - (2x^3 - 8x) = 2x^3 + 8x - 2x^3 + 8x = 16x \]
Resultado final: \[ f'(x) = \frac{16x}{(x^2+4)^2} \]
Ejercicio 2: Combinación de producto y regla de la cadena
Derivar la función \( f(x) = x^3 (2x - 5)^4 \).
Paso 1: Derivamos como producto \( u = x^3 \implies u' = 3x^2 \), \( v = (2x-5)^4 \implies v' = 4(2x-5)^3 \cdot 2 = 8(2x-5)^3 \).
Paso 2: Ensamblamos la regla del producto:
\[ f'(x) = 3x^2 (2x-5)^4 + x^3 \cdot 8(2x-5)^3 \]
Paso 3: Sacamos factor común \( x^2(2x-5)^3 \):
\[ f'(x) = x^2(2x-5)^3 [3(2x-5) + 8x] = x^2(2x-5)^3 [6x - 15 + 8x] = x^2(2x-5)^3(14x - 15) \]