Ejercicio 1: Demostración algebraica de conjuntos
Simplificar la siguiente expresión usando las propiedades del álgebra de Boole: \[ (A \cap B) \cup (A \cap \bar{B}) \]
Paso 1: Aplicamos la propiedad distributiva en sentido inverso (sacar factor común \( A \cap \)):
\[ (A \cap B) \cup (A \cap \bar{B}) = A \cap (B \cup \bar{B}) \]
Paso 2: Sabemos que \( B \cup \bar{B} = E \) (suceso seguro):
\[ A \cap E \]
Paso 3: Por la propiedad del elemento neutro para la intersección:
\[ A \cap E = A \]
Ejercicio 2: Simplificación con absorción
Simplificar: \( [A \cup (B \cap A)] \cap B \).
Paso 1: Por conmutatividad \( B \cap A = A \cap B \):
\[ A \cup (A \cap B) = A \quad \text{(por absorción)} \]
Paso 2: Sustituimos en la expresión:
\[ A \cap B \]