1. Propiedades Fundamentales de las Operaciones
| Propiedad | Unión (\( \cup \)) | Intersección (\( \cap \)) |
|---|---|---|
| Conmutativa | \( A \cup B = B \cup A \) | \( A \cap B = B \cap A \) |
| Asociativa | \( (A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C) \) | \( (A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C) \) |
| Idempotencia | \( A \cup A = A \) | \( A \cap A = A \) |
| Elemento neutro | \( A \cup \emptyset = A \) | \( A \cap E = A \) |
| Absorción | \( A \cup (A \cap B) = A \) | \( A \cap (A \cup B) = A \) |
Sean los conjuntos \( A = \{1, 2\} \), \( B = \{2, 3\} \) y \( C = \{3, 4\} \):
Queda verificada numéricamente la igualdad distributiva: \( A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C) \).
2. Leyes Distributivas
Distributiva de la unión respecto de la intersección:
\[ A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C) \]
Distributiva de la intersección respecto de la unión:
\[ A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C) \]
3. Ejemplos Resueltos
Ejemplo 1: Verificación de la ley distributiva
Sean \( A = \{1, 2\} \), \( B = \{2, 3\} \), \( C = \{3, 4\} \).
\( B \cap C = \{3\} \implies A \cup (B \cap C) = \{1, 2, 3\} \).
\( A \cup B = \{1, 2, 3\} \) y \( A \cup C = \{1, 2, 3, 4\} \implies (A \cup B) \cap (A \cup C) = \{1, 2, 3\} \). Coinciden.
Ejemplo 2: Elemento neutro y absorbente
Para cualquier suceso \( A \subseteq E \):
\[ A \cup E = E, \qquad A \cap \emptyset = \emptyset \]
Ejemplo 3: Ley de absorción
Comprobar \( A \cap (A \cup B) = A \) con \( A = \{1, 2\} \) y \( B = \{2, 3\} \).
\( A \cup B = \{1, 2, 3\} \implies \{1, 2\} \cap \{1, 2, 3\} = \{1, 2\} = A \).